Mis vahe on numbrilisel ja analüütilisel lahendusel?


Vastus 1:

Analüütilised lahendused tähistavad täpseid lahendusi, mida saab kasutada muutuvate omadustega süsteemi käitumise uurimiseks. Kahjuks pakuvad väga vähesed praktilised süsteemid analüütilisi lahendusi ja analüütilisi lahendusi kasutatakse vähe. Seetõttu kasutame numbrilist lähenemist, et praktilisele tulemusele lähedalt vastata.

"Kuna looduses pole peaaegu ühtegi probleemi täpselt lahendatavat, see on probleem, miks see on keeruline, kui kõik täpselt lahendatavad probleemid, ja looduses on neid umbes kolm või neli, mis kõik on juba lahendatud, kahjuks isegi numbrilised meetodid ei anna mis tahes täpne lahendus. ” - Carl M. Bender

Numbrilised lahendused on need, mida ei saa väljendada täielike matemaatiliste avaldiste kujul. Näiteks järgmise integratsiooni tulemusel pole suletud vormi lahendust:

Samim Ul Islami vastus küsimusele, kuidas ma integreerun

1+cos2x\sqrt{1 + \cos^2 x}

?

integratsioon on elliptiline integraal. Analüütiliselt on seda raske lahendada, kuid numbriliselt saame lahendada selliste aritmeetiliste toimingutega nagu liitmine (+), lahutamine (-), korrutamine (×), jagamine (÷) ja võrdlus

Numbrilisel analüüsil on rikkalikult meetodeid, et leida vastus puhtalt aritmeetiliste toimingute abil. Niisiis saab numbriline analüüs lahendada probleeme, kus analüütilised lahendused pole kättesaadavad (kasutades matemaatilist lähenemist) või väga raske matemaatilise protsessi abil. Numbrilised meetodid on võimelised käsitlema suuri võrrandisüsteeme, erinevat mittelineaarsust, mis on inseneripraktikas tavalised. Numbriliste meetoditega saab hakkama igasuguste keerukate füüsikaliste geomeetriatega, mida on sageli võimatu analüütiliselt lahendada.


Vastus 2:

Minu jaoks on seda lihtsam mõista näidetega kui määratlustega.

Mõelge sellele funktsioonile:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

ja kujutage ette, et soovite teada saada selle tulemust

f(x)dx.\int f(x)dx.

Niisiis kasutate oma arvutuskursuse järgi sellele vastamiseks arvutuspõhimõtet, et leiate algelise ja vastus on:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

Kujutage nüüd ette, et see funktsioon on kümme korda keerulisem kui see ja pärast tundidepikkust selle lahendamist proovite avastada, et iga tehnika, mille olete oma arvutuskursusel õppinud, on kasutu (näide sellisest funktsioonist on

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

Tead, et seal on vastus, sest igal vaiksel funktsioonil on lahutamatu osa, mida sa siis teed?

Noh, seal tuleb kasutada arvulisi lahendusi.

Igaüks, kes on enne integraalide lahendamise õppimist võtnud korraliku arvutuskursuse, õpib, mis on lahutamatu. Sissejuhatuseks näete järgmist määratlust:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

Selle limiidi arvutamine on mõnikord peaaegu võimatu, kuid mis siis, kui soovite vaid teatavat täpsust (näiteks 10 numbrit), siis saate teha nii palju selle valemi iteratsioone, kuni täidate oma vastusega trahvi (isegi kui see pole täpne lahendus) ).

Rusikaprotseduur minu vastuses on näide analüütilisest lahendusest ja teine ​​näide numbrilisest lahendusest.


Vastus 3:

Minu jaoks on seda lihtsam mõista näidetega kui määratlustega.

Mõelge sellele funktsioonile:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

ja kujutage ette, et soovite teada saada selle tulemust

f(x)dx.\int f(x)dx.

Niisiis kasutate oma arvutuskursuse järgi sellele vastamiseks arvutuspõhimõtet, et leiate algelise ja vastus on:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

Kujutage nüüd ette, et see funktsioon on kümme korda keerulisem kui see ja pärast tundidepikkust selle lahendamist proovite avastada, et iga tehnika, mille olete oma arvutuskursusel õppinud, on kasutu (näide sellisest funktsioonist on

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

Tead, et seal on vastus, sest igal vaiksel funktsioonil on lahutamatu osa, mida sa siis teed?

Noh, seal tuleb kasutada arvulisi lahendusi.

Igaüks, kes on enne integraalide lahendamise õppimist võtnud korraliku arvutuskursuse, õpib, mis on lahutamatu. Sissejuhatuseks näete järgmist määratlust:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

Selle limiidi arvutamine on mõnikord peaaegu võimatu, kuid mis siis, kui soovite vaid teatavat täpsust (näiteks 10 numbrit), siis saate teha nii palju selle valemi iteratsioone, kuni täidate oma vastusega trahvi (isegi kui see pole täpne lahendus) ).

Rusikaprotseduur minu vastuses on näide analüütilisest lahendusest ja teine ​​näide numbrilisest lahendusest.