Kas kahekordse integraali ja iteratsiooni integraali vahel on konkreetne erinevus?


Vastus 1:

Pinna integraal vs iteratiivne integraal:

Pinnaintegraal on integraal, kus funktsiooni integreeritakse või hinnatakse piki pinda, mis asub kõrgemas mõõtmelises ruumis. (Kahemõõtmeline) pinnaintegraal võetakse kuju, mis on kinnistatud kõrgema mõõtmega ruumi.

Kuid itereeritavas integraalis saab see integraaldada ainult funktsiooni, mis on piiritletud 2D piirkonnaga lõpmatu ala suhtes

See tähendab, et võime võtta näiteks kera pinna pinnaintegraali kolmes mõõtmes. Saame sfääri pinna kaardistada tasapinnaga ja võtta siis integraali.

Teine näide oleks kuubik 3D-vormingus. On selge, et kuubi pind on oma olemuselt 2D, kuid kuup ise on 3D-ruumi kinnistunud. Me võime integraali võtta selle pinna kohal.

Pinnaintegraalide kohta võite mõelda nii: kui suudame mingil kujul oleva pinna mingil viisil lahti rullida, venitada, pöörata, lõigata ja painutada, et see muutuks ühtlaseks, siis võime pinna integraali võtta üle kuju piiri. Kuid kuju ise ei pea tingimata olema tasane ja kindlasti mitte kahemõõtmeline.

Itereeritud integraali saab võtta ainult kahemõõtmelises ruumis. See tähendab, et me võime selle üle võtta vaid kahemõõtmelise ruumi piirkonnas. Nagu ruut, ring või mõni muu sisemine kuju.

Niisiis, pinnaintegraal võib viia itereeritud integraalini, kui suudame pinna kaardistada (venitada, pöörata jne) kahemõõtmeliseks ruumiks ja vastupidi, kui suudame kaardistada kahemõõtmelise ruumi kõrgema mõõtmega pinnale, siis võime võtta pinna integraali! See on kena sümmeetria nende kahe vahel, et saada piisavalt kena pinna ja kuju (kuigi pinna integraal on üldisem, kui arvestada erandjuhtudega).

Kui pind projitseeritakse suvalisele tasapinnale, muutub pinna integraal iteratiivseks integraaliks.


Vastus 2:

Patoloogilistel juhtudel on oluline integratsiooni järjekord. Näiteks

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, kuid integreeritavad muudatused tähistavad tellimuse tühistamist. (Arvestades, et integraal eksisteerib ja ei ole null, siis on üsna ilmne, et märk muutub - vahetub

xx

ja

yy

.)

Kuid topeltintegraali olemasolu korral seda ei juhtu. Seega peab kahekordne integraal olema peenelt erinev. Topeltintegraale määratletakse sarnaselt üksikute integraalidega - jagage domeen alamrühma ja laske tükkidel nullida. Korduv integraal on sarnane, kuid domeen on jagatud ristkülikute ruudustikuks ning laiused ja kõrgused kipuvad eraldi olema nullid ja järjekord on oluline.

Kui teate Lebesgue'i integreerimise kohta, otsige Fubini-Tonelli teoreeme.